Андрей Смирнов
Время чтения: ~23 мин.
Просмотров: 2

Таблица брадиса: синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

Тригонометрия и тригонометрические функции

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя линиями, не лежащими на одной прямой и выходящими или пересекающимися в одной точке.

Углы по своему виду могут быть:

  • острыми – меньше 90 градусов

  • тупыми – больше 90 градусов

  • прямыми – равными 90 градусов (прямые или отрезки перпендикулярны)

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

В зависимости от соотношения сторон и углов, треугольники можно разделить на группы:

  • По величине угла:
  • прямоугольный
  • тупоугольный
  • остроугольный
  • По длине сторон:
  • равносторонний
  • разносторонний
  • равнобедренный

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

позволяют указать значения тригонометрических функций для углов и 90 градусов: , а котангенс нуля градусов не определен, и, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30, 60 и 90 градусов, а также 45, 45 и 90 градусов находятся :, и.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов , 30, 45, 60 и 90 градусов (, π/6, π/4, π/3, π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330 и 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на , таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos, и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \( K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2) \) — центр окружности. Радиус окружности равен \( 1,5 \). Необходимо найти координаты точки \( P \), полученной поворотом точки \( O \) на \( \delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \( x \) точки \( P \) соответствует длина отрезка \( TP=UQ=UK+KQ \). Длина отрезка \( UK \) соответствует координате \( x \) центра окружности, то есть равна \( 3 \). Длину отрезка \( KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:

\( \cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тогда имеем, что для точки \( P \) координата \( x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

По той же логике находим значение координаты y для точки \( P \). Таким образом,

\( y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array} \), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \) — координаты центра окружности,

\( r \) — радиус окружности,

\( \delta \) — угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array} \)

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

Принятые обозначения

\( \sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\( \quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\( \quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\( \sin^{-1} x \equiv \arcsin x \)\( (\sin x )^{-1} \equiv \dfrac1{\sin x} \equiv \cosec x \).

\( \cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\( \quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\( \quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\( \cos^{-1} x \equiv \arccos x \)\( (\cos x )^{-1} \equiv \dfrac1{\cos x} \equiv \sec x \).

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

\( \sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\( \cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

\( \sin( -x ) = — \sin x; \quad \)\( \cos( -x ) = \cos x \)

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n — целое).

\( \small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)\( \small < x < \)\( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small -\pi + 2\pi n \)\( \small < x < \)\( \small 2\pi n \)
Убывание \( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)\( \small < x < \)\( \small \dfrac{3\pi}2 + 2\pi n \) \( \small 2\pi n \)\( \small < x < \)\( \pi + \small 2\pi n \)
Максимумы, \( \small x = \)\( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small x = 2\pi n \)
Минимумы, \( \small x = \)\( \small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small x = \)\( \small \pi + 2\pi n \)
Нули, \( \small x = \pi n \) \( \small x = \dfrac{\pi}2 + \pi n \)
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Таблица котангенсов углов от 181° до 360°

ctg(181°) = 57.28996ctg(182°) = 28.63625ctg(183°) = 19.08114ctg(184°) = 14.30067ctg(185°) = 11.43005ctg(186°) = 9.51436ctg(187°) = 8.14435ctg(188°) = 7.11537ctg(189°) = 6.31375ctg(190°) = 5.67128ctg(191°) = 5.14455ctg(192°) = 4.70463ctg(193°) = 4.33148ctg(194°) = 4.01078ctg(195°) = 3.73205ctg(196°) = 3.48741ctg(197°) = 3.27085ctg(198°) = 3.07768ctg(199°) = 2.90421ctg(200°) = 2.74748ctg(201°) = 2.60509ctg(202°) = 2.47509ctg(203°) = 2.35585ctg(204°) = 2.24604ctg(205°) = 2.14451ctg(206°) = 2.0503ctg(207°) = 1.96261ctg(208°) = 1.88073ctg(209°) = 1.80405ctg(210°) = 1.73205ctg(211°) = 1.66428ctg(212°) = 1.60033ctg(213°) = 1.53986ctg(214°) = 1.48256ctg(215°) = 1.42815ctg(216°) = 1.37638ctg(217°) = 1.32704ctg(218°) = 1.27994ctg(219°) = 1.2349ctg(220°) = 1.19175ctg(221°) = 1.15037ctg(222°) = 1.11061ctg(223°) = 1.07237ctg(224°) = 1.03553ctg(225°) = 1ctg(226°) = 0.96569ctg(227°) = 0.93252ctg(228°) = 0.9004ctg(229°) = 0.86929ctg(230°) = 0.8391ctg(231°) = 0.80978ctg(232°) = 0.78129ctg(233°) = 0.75355ctg(234°) = 0.72654ctg(235°) = 0.70021ctg(236°) = 0.67451ctg(237°) = 0.64941ctg(238°) = 0.62487ctg(239°) = 0.60086ctg(240°) = 0.57735 ctg(241°) = 0.55431ctg(242°) = 0.53171ctg(243°) = 0.50953ctg(244°) = 0.48773ctg(245°) = 0.46631ctg(246°) = 0.44523ctg(247°) = 0.42447ctg(248°) = 0.40403ctg(249°) = 0.38386ctg(250°) = 0.36397ctg(251°) = 0.34433ctg(252°) = 0.32492ctg(253°) = 0.30573ctg(254°) = 0.28675ctg(255°) = 0.26795ctg(256°) = 0.24933ctg(257°) = 0.23087ctg(258°) = 0.21256ctg(259°) = 0.19438ctg(260°) = 0.17633ctg(261°) = 0.15838ctg(262°) = 0.14054ctg(263°) = 0.12278ctg(264°) = 0.1051ctg(265°) = 0.08749ctg(266°) = 0.06993ctg(267°) = 0.05241ctg(268°) = 0.03492ctg(269°) = 0.01746ctg(270°) = 0ctg(271°) = -0.01746ctg(272°) = -0.03492ctg(273°) = -0.05241ctg(274°) = -0.06993ctg(275°) = -0.08749ctg(276°) = -0.1051ctg(277°) = -0.12278ctg(278°) = -0.14054ctg(279°) = -0.15838ctg(280°) = -0.17633ctg(281°) = -0.19438ctg(282°) = -0.21256ctg(283°) = -0.23087ctg(284°) = -0.24933ctg(285°) = -0.26795ctg(286°) = -0.28675ctg(287°) = -0.30573ctg(288°) = -0.32492ctg(289°) = -0.34433ctg(290°) = -0.36397ctg(291°) = -0.38386ctg(292°) = -0.40403ctg(293°) = -0.42447ctg(294°) = -0.44523ctg(295°) = -0.46631ctg(296°) = -0.48773ctg(297°) = -0.50953ctg(298°) = -0.53171ctg(299°) = -0.55431ctg(300°) = -0.57735 ctg(301°) = -0.60086ctg(302°) = -0.62487ctg(303°) = -0.64941ctg(304°) = -0.67451ctg(305°) = -0.70021ctg(306°) = -0.72654ctg(307°) = -0.75355ctg(308°) = -0.78129ctg(309°) = -0.80978ctg(310°) = -0.8391ctg(311°) = -0.86929ctg(312°) = -0.9004ctg(313°) = -0.93252ctg(314°) = -0.96569ctg(315°) = -1ctg(316°) = -1.03553ctg(317°) = -1.07237ctg(318°) = -1.11061ctg(319°) = -1.15037ctg(320°) = -1.19175ctg(321°) = -1.2349ctg(322°) = -1.27994ctg(323°) = -1.32704ctg(324°) = -1.37638ctg(325°) = -1.42815ctg(326°) = -1.48256ctg(327°) = -1.53986ctg(328°) = -1.60033ctg(329°) = -1.66428ctg(330°) = -1.73205ctg(331°) = -1.80405ctg(332°) = -1.88073ctg(333°) = -1.96261ctg(334°) = -2.0503ctg(335°) = -2.14451ctg(336°) = -2.24604ctg(337°) = -2.35585ctg(338°) = -2.47509ctg(339°) = -2.60509ctg(340°) = -2.74748ctg(341°) = -2.90421ctg(342°) = -3.07768ctg(343°) = -3.27085ctg(344°) = -3.48741ctg(345°) = -3.73205ctg(346°) = -4.01078ctg(347°) = -4.33148ctg(348°) = -4.70463ctg(349°) = -5.14455ctg(350°) = -5.67128ctg(351°) = -6.31375ctg(352°) = -7.11537ctg(353°) = -8.14435ctg(354°) = -9.51436ctg(355°) = -11.43005ctg(356°) = -14.30067ctg(357°) = -19.08114ctg(358°) = -28.63625ctg(359°) = -57.28996ctg(360°) = ∞

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

  1. Определение знака
    • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;
    • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;
    • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;
    • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;
    • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;
    • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.
  2. Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.
    • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.
    • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.
  3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.
    • У sin α и cos α период – $2\pi$ или 360°.
    • У tg α и ctg α – $\pi$.

1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

0 рад
30º
$$\frac{\pi}{6}$$
45º
$$\frac{\pi}{4}$$
60º
$$\frac{\pi}{3}$$
90º
$$\frac{\pi}{2}$$
180º
$$\pi$$
270º
$$\frac{3\pi}{2}$$
360º
$$2\pi$$
$$\sin \alpha$$ $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 1 -1
$$\cos \alpha$$ 1 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{1}{2}$$ -1 1
$${\rm tg}\, \alpha$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 1 $$\sqrt{3}$$
$${\rm ctg}\, \alpha$$ $$\sqrt{3}$$ 1 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

Основные свойства котангенсоиды:

  1. Y = tg x.
  2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
  3. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
  4. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
  5. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
  6. Tg x = 0, при x = πk.
  7. Функция является возрастающей.
  8. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Tg x ‹ 0, при x ϵ ( — π/2 + πk, πk).
  10. Производная (tg x)’ = 1/cos2⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

  1. Y = ctg x.
  2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
  3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
  4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
  5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
  6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
  7. Функция является убывающей.
  8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin2⁡x Исправить

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла — это абсцисса точки. Синус угла — это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Таблица тангенсов углов от 181° до 360°

tg(181°) = 0.01746tg(182°) = 0.03492tg(183°) = 0.05241tg(184°) = 0.06993tg(185°) = 0.08749tg(186°) = 0.1051tg(187°) = 0.12278tg(188°) = 0.14054tg(189°) = 0.15838tg(190°) = 0.17633tg(191°) = 0.19438tg(192°) = 0.21256tg(193°) = 0.23087tg(194°) = 0.24933tg(195°) = 0.26795tg(196°) = 0.28675tg(197°) = 0.30573tg(198°) = 0.32492tg(199°) = 0.34433tg(200°) = 0.36397tg(201°) = 0.38386tg(202°) = 0.40403tg(203°) = 0.42447tg(204°) = 0.44523tg(205°) = 0.46631tg(206°) = 0.48773tg(207°) = 0.50953tg(208°) = 0.53171tg(209°) = 0.55431tg(210°) = 0.57735tg(211°) = 0.60086tg(212°) = 0.62487tg(213°) = 0.64941tg(214°) = 0.67451tg(215°) = 0.70021tg(216°) = 0.72654tg(217°) = 0.75355tg(218°) = 0.78129tg(219°) = 0.80978tg(220°) = 0.8391tg(221°) = 0.86929tg(222°) = 0.9004tg(223°) = 0.93252tg(224°) = 0.96569tg(225°) = 1tg(226°) = 1.03553tg(227°) = 1.07237tg(228°) = 1.11061tg(229°) = 1.15037tg(230°) = 1.19175tg(231°) = 1.2349tg(232°) = 1.27994tg(233°) = 1.32704tg(234°) = 1.37638tg(235°) = 1.42815tg(236°) = 1.48256tg(237°) = 1.53986tg(238°) = 1.60033tg(239°) = 1.66428tg(240°) = 1.73205 tg(241°) = 1.80405tg(242°) = 1.88073tg(243°) = 1.96261tg(244°) = 2.0503tg(245°) = 2.14451tg(246°) = 2.24604tg(247°) = 2.35585tg(248°) = 2.47509tg(249°) = 2.60509tg(250°) = 2.74748tg(251°) = 2.90421tg(252°) = 3.07768tg(253°) = 3.27085tg(254°) = 3.48741tg(255°) = 3.73205tg(256°) = 4.01078tg(257°) = 4.33148tg(258°) = 4.70463tg(259°) = 5.14455tg(260°) = 5.67128tg(261°) = 6.31375tg(262°) = 7.11537tg(263°) = 8.14435tg(264°) = 9.51436tg(265°) = 11.43005tg(266°) = 14.30067tg(267°) = 19.08114tg(268°) = 28.63625tg(269°) = 57.28996tg(270°) = ∞tg(271°) = -57.28996tg(272°) = -28.63625tg(273°) = -19.08114tg(274°) = -14.30067tg(275°) = -11.43005tg(276°) = -9.51436tg(277°) = -8.14435tg(278°) = -7.11537tg(279°) = -6.31375tg(280°) = -5.67128tg(281°) = -5.14455tg(282°) = -4.70463tg(283°) = -4.33148tg(284°) = -4.01078tg(285°) = -3.73205tg(286°) = -3.48741tg(287°) = -3.27085tg(288°) = -3.07768tg(289°) = -2.90421tg(290°) = -2.74748tg(291°) = -2.60509tg(292°) = -2.47509tg(293°) = -2.35585tg(294°) = -2.24604tg(295°) = -2.14451tg(296°) = -2.0503tg(297°) = -1.96261tg(298°) = -1.88073tg(299°) = -1.80405tg(300°) = -1.73205 tg(301°) = -1.66428tg(302°) = -1.60033tg(303°) = -1.53986tg(304°) = -1.48256tg(305°) = -1.42815tg(306°) = -1.37638tg(307°) = -1.32704tg(308°) = -1.27994tg(309°) = -1.2349tg(310°) = -1.19175tg(311°) = -1.15037tg(312°) = -1.11061tg(313°) = -1.07237tg(314°) = -1.03553tg(315°) = -1tg(316°) = -0.96569tg(317°) = -0.93252tg(318°) = -0.9004tg(319°) = -0.86929tg(320°) = -0.8391tg(321°) = -0.80978tg(322°) = -0.78129tg(323°) = -0.75355tg(324°) = -0.72654tg(325°) = -0.70021tg(326°) = -0.67451tg(327°) = -0.64941tg(328°) = -0.62487tg(329°) = -0.60086tg(330°) = -0.57735tg(331°) = -0.55431tg(332°) = -0.53171tg(333°) = -0.50953tg(334°) = -0.48773tg(335°) = -0.46631tg(336°) = -0.44523tg(337°) = -0.42447tg(338°) = -0.40403tg(339°) = -0.38386tg(340°) = -0.36397tg(341°) = -0.34433tg(342°) = -0.32492tg(343°) = -0.30573tg(344°) = -0.28675tg(345°) = -0.26795tg(346°) = -0.24933tg(347°) = -0.23087tg(348°) = -0.21256tg(349°) = -0.19438tg(350°) = -0.17633tg(351°) = -0.15838tg(352°) = -0.14054tg(353°) = -0.12278tg(354°) = -0.1051tg(355°) = -0.08749tg(356°) = -0.06993tg(357°) = -0.05241tg(358°) = -0.03492tg(359°) = -0.01746tg(360°) = 0

Таблица синусов от 0° до 180°

Sin(1°) 0.0175
Sin(2°) 0.0349
Sin(3°) 0.0523
Sin(4°) 0.0698
Sin(5°) 0.0872
Sin(6°) 0.1045
Sin(7°) 0.1219
Sin(8°) 0.1392
Sin(9°) 0.1564
Sin(10°) 0.1736
Sin(11°) 0.1908
Sin(12°) 0.2079
Sin(13°) 0.225
Sin(14°) 0.2419
Sin(15°) 0.2588
Sin(16°) 0.2756
Sin(17°) 0.2924
Sin(18°) 0.309
Sin(19°) 0.3256
Sin(20°) 0.342
Sin(21°) 0.3584
Sin(22°) 0.3746
Sin(23°) 0.3907
Sin(24°) 0.4067
Sin(25°) 0.4226
Sin(26°) 0.4384
Sin(27°) 0.454
Sin(28°) 0.4695
Sin(29°) 0.4848
Sin(30°) 0.5
Sin(31°) 0.515
Sin(32°) 0.5299
Sin(33°) 0.5446
Sin(34°) 0.5592
Sin(35°) 0.5736
Sin(36°) 0.5878
Sin(37°) 0.6018
Sin(38°) 0.6157
Sin(39°) 0.6293
Sin(40°) 0.6428
Sin(41°) 0.6561
Sin(42°) 0.6691
Sin(43°) 0.682
Sin(44°) 0.6947
Sin(45°) 0.7071
Sin(46°) 0.7193
Sin(47°) 0.7314
Sin(48°) 0.7431
Sin(49°) 0.7547
Sin(50°) 0.766
Sin(51°) 0.7771
Sin(52°) 0.788
Sin(53°) 0.7986
Sin(54°) 0.809
Sin(55°) 0.8192
Sin(56°) 0.829
Sin(57°) 0.8387
Sin(58°) 0.848
Sin(59°) 0.8572
Sin(60°) 0.866
Sin(61°) 0.8746
Sin(62°) 0.8829
Sin(63°) 0.891
Sin(64°) 0.8988
Sin(65°) 0.9063
Sin(66°) 0.9135
Sin(67°) 0.9205
Sin(68°) 0.9272
Sin(69°) 0.9336
Sin(70°) 0.9397
Sin(71°) 0.9455
Sin(72°) 0.9511
Sin(73°) 0.9563
Sin(74°) 0.9613
Sin(75°) 0.9659
Sin(76°) 0.9703
Sin(77°) 0.9744
Sin(78°) 0.9781
Sin(79°) 0.9816
Sin(80°) 0.9848
Sin(81°) 0.9877
Sin(82°) 0.9903
Sin(83°) 0.9925
Sin(84°) 0.9945
Sin(85°) 0.9962
Sin(86°) 0.9976
Sin(87°) 0.9986
Sin(88°) 0.9994
Sin(89°) 0.9998
Sin(90°) 1
Sin(91°) 0.9998
Sin(92°) 0.9994
Sin(93°) 0.9986
Sin(94°) 0.9976
Sin(95°) 0.9962
Sin(96°) 0.9945
Sin(97°) 0.9925
Sin(98°) 0.9903
Sin(99°) 0.9877
Sin(100°) 0.9848
Sin(101°) 0.9816
Sin(102°) 0.9781
Sin(103°) 0.9744
Sin(104°) 0.9703
Sin(105°) 0.9659
Sin(106°) 0.9613
Sin(107°) 0.9563
Sin(108°) 0.9511
Sin(109°) 0.9455
Sin(110°) 0.9397
Sin(111°) 0.9336
Sin(112°) 0.9272
Sin(113°) 0.9205
Sin(114°) 0.9135
Sin(115°) 0.9063
Sin(116°) 0.8988
Sin(117°) 0.891
Sin(118°) 0.8829
Sin(119°) 0.8746
Sin(120°) 0.866
Sin(121°) 0.8572
Sin(122°) 0.848
Sin(123°) 0.8387
Sin(124°) 0.829
Sin(125°) 0.8192
Sin(126°) 0.809
Sin(127°) 0.7986
Sin(128°) 0.788
Sin(129°) 0.7771
Sin(130°) 0.766
Sin(131°) 0.7547
Sin(132°) 0.7431
Sin(133°) 0.7314
Sin(134°) 0.7193
Sin(135°) 0.7071
Sin(136°) 0.6947
Sin(137°) 0.682
Sin(138°) 0.6691
Sin(139°) 0.6561
Sin(140°) 0.6428
Sin(141°) 0.6293
Sin(142°) 0.6157
Sin(143°) 0.6018
Sin(144°) 0.5878
Sin(145°) 0.5736
Sin(146°) 0.5592
Sin(147°) 0.5446
Sin(148°) 0.5299
Sin(149°) 0.515
Sin(150°) 0.5
Sin(151°) 0.4848
Sin(152°) 0.4695
Sin(153°) 0.454
Sin(154°) 0.4384
Sin(155°) 0.4226
Sin(156°) 0.4067
Sin(157°) 0.3907
Sin(158°) 0.3746
Sin(159°) 0.3584
Sin(160°) 0.342
Sin(161°) 0.3256
Sin(162°) 0.309
Sin(163°) 0.2924
Sin(164°) 0.2756
Sin(165°) 0.2588
Sin(166°) 0.2419
Sin(167°) 0.225
Sin(168°) 0.2079
Sin(169°) 0.1908
Sin(170°) 0.1736
Sin(171°) 0.1564
Sin(172°) 0.1392
Sin(173°) 0.1219
Sin(174°) 0.1045
Sin(175°) 0.0872
Sin(176°) 0.0698
Sin(177°) 0.0523
Sin(178°) 0.0349
Sin(179°) 0.0175
Sin(180°)

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

\( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) \( \sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y \) \( \cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y \) \( \cos(x — y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\( \sin( 2x ) = 2 \sin x \cos x \) \( \cos( 2x ) = \cos^2 x — \sin^2 x = \)\( 2 \cos^2 x — 1 = 1 — 2 \sin^2 x \) \( \cos\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \sin x \) ; \( \sin\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \cos x \) \( \cos( x + \pi ) = — \cos x \) ; \( \sin( x + \pi ) = — \sin x \)

Формулы произведения синусов и косинусов

\( \sin x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large } \) \( \sin x \sin y = \)\( \dfrac12 {\Large } \) \( \cos x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large } \)

\( \sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \) \( \sin^2 x = \dfrac12 {\Large } \) \( \cos^2 x = \dfrac12 {\Large } \)

Формулы суммы и разности

\( \sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \) \( \sin x — \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x-y}2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \) \( \cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \) \( \cos x — \cos y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \sin \dfrac{y-x}2 \)

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что \( n \) – целое число.

\( \sin x = \cos\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \)\( \cos\left( x — \dfrac{\pi}2 \right) = — \cos\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \sin^2 x = 1 — \cos^2 x \)\( \sin x = \sqrt{1 — \cos^2 x} \) \( \{ 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \} \)\( \sin x = — \sqrt{1 — \cos^2 x} \) \( \{ -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \} \).

Выражение косинуса через синус

\( \cos x = \sin\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \)\( — \sin\left( x — \dfrac{\pi}2 \right) = \sin\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \cos^2 x = 1 — \sin^2 x \)\( \cos x = \sqrt{1 — \sin^2 x} \) \( \{ -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \} \)\( \cos x = — \sqrt{1 — \sin^2 x} \) \( \{ \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \} \).

Выражение через тангенс

\( \sin^2 x = \dfrac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x} \)\( \cos^2 x = \dfrac1{1+\tg^2 x} \).

При \( — \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \)\( \sin x = \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

При \( \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) : \( \sin x = — \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = — \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

\( y = \arcsin x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; — \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)\( \sin( \arcsin x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)\( \arcsin( \sin x ) = x \) \( \left\{ — \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)

Арккосинус, arccos

\( y = \arccos x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\} \)\( \cos( \arccos x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)\( \arccos( \cos x ) = x \) \( \{ 0 \leqslant x \leqslant \pi \} \)

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Табличные значения синуса и косинуса

Нулевой угол \( \LARGE 0^{\circ } \)

Абсцисса точки равна 1, ордината точки равна . Следовательно,

cos 0 = 1   sin 0 = 0


Рис 4. Нулевой угол

Угол \( \LARGE \frac{\pi}{6} = 30^{\circ } \)

Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы1; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,

\

Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):

\

1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.


Рис 5. Угол π / 6

Угол \( \LARGE \frac{\pi}{4} = 45^{\circ } \)

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:

\

откуда \( x=\frac{\sqrt{2} }{2} \). Следовательно,

\


Рис 5. Угол π / 4

Таблица синусов от 181° до 360°

Sin(181°) -0.0175
Sin(182°) -0.0349
Sin(183°) -0.0523
Sin(184°) -0.0698
Sin(185°) -0.0872
Sin(186°) -0.1045
Sin(187°) -0.1219
Sin(188°) -0.1392
Sin(189°) -0.1564
Sin(190°) -0.1736
Sin(191°) -0.1908
Sin(192°) -0.2079
Sin(193°) -0.225
Sin(194°) -0.2419
Sin(195°) -0.2588
Sin(196°) -0.2756
Sin(197°) -0.2924
Sin(198°) -0.309
Sin(199°) -0.3256
Sin(200°) -0.342
Sin(201°) -0.3584
Sin(202°) -0.3746
Sin(203°) -0.3907
Sin(204°) -0.4067
Sin(205°) -0.4226
Sin(206°) -0.4384
Sin(207°) -0.454
Sin(208°) -0.4695
Sin(209°) -0.4848
Sin(210°) -0.5
Sin(211°) -0.515
Sin(212°) -0.5299
Sin(213°) -0.5446
Sin(214°) -0.5592
Sin(215°) -0.5736
Sin(216°) -0.5878
Sin(217°) -0.6018
Sin(218°) -0.6157
Sin(219°) -0.6293
Sin(220°) -0.6428
Sin(221°) -0.6561
Sin(222°) -0.6691
Sin(223°) -0.682
Sin(224°) -0.6947
Sin(225°) -0.7071
Sin(226°) -0.7193
Sin(227°) -0.7314
Sin(228°) -0.7431
Sin(229°) -0.7547
Sin(230°) -0.766
Sin(231°) -0.7771
Sin(232°) -0.788
Sin(233°) -0.7986
Sin(234°) -0.809
Sin(235°) -0.8192
Sin(236°) -0.829
Sin(237°) -0.8387
Sin(238°) -0.848
Sin(239°) -0.8572
Sin(240°) -0.866
Sin(241°) -0.8746
Sin(242°) -0.8829
Sin(243°) -0.891
Sin(244°) -0.8988
Sin(245°) -0.9063
Sin(246°) -0.9135
Sin(247°) -0.9205
Sin(248°) -0.9272
Sin(249°) -0.9336
Sin(250°) -0.9397
Sin(251°) -0.9455
Sin(252°) -0.9511
Sin(253°) -0.9563
Sin(254°) -0.9613
Sin(255°) -0.9659
Sin(256°) -0.9703
Sin(257°) -0.9744
Sin(258°) -0.9781
Sin(259°) -0.9816
Sin(260°) -0.9848
Sin(261°) -0.9877
Sin(262°) -0.9903
Sin(263°) -0.9925
Sin(264°) -0.9945
Sin(265°) -0.9962
Sin(266°) -0.9976
Sin(267°) -0.9986
Sin(268°) -0.9994
Sin(269°) -0.9998
Sin(270°) -1
Sin(271°) -0.9998
Sin(272°) -0.9994
Sin(273°) -0.9986
Sin(274°) -0.9976
Sin(275°) -0.9962
Sin(276°) -0.9945
Sin(277°) -0.9925
Sin(278°) -0.9903
Sin(279°) -0.9877
Sin(280°) -0.9848
Sin(281°) -0.9816
Sin(282°) -0.9781
Sin(283°) -0.9744
Sin(284°) -0.9703
Sin(285°) -0.9659
Sin(286°) -0.9613
Sin(287°) -0.9563
Sin(288°) -0.9511
Sin(289°) -0.9455
Sin(290°) -0.9397
Sin(291°) -0.9336
Sin(292°) -0.9272
Sin(293°) -0.9205
Sin(294°) -0.9135
Sin(295°) -0.9063
Sin(296°) -0.8988
Sin(297°) -0.891
Sin(298°) -0.8829
Sin(299°) -0.8746
Sin(300°) -0.866
Sin(301°) -0.8572
Sin(302°) -0.848
Sin(303°) -0.8387
Sin(304°) -0.829
Sin(305°) -0.8192
Sin(306°) -0.809
Sin(307°) -0.7986
Sin(308°) -0.788
Sin(309°) -0.7771
Sin(310°) -0.766
Sin(311°) -0.7547
Sin(312°) -0.7431
Sin(313°) -0.7314
Sin(314°) -0.7193
Sin(315°) -0.7071
Sin(316°) -0.6947
Sin(317°) -0.682
Sin(318°) -0.6691
Sin(319°) -0.6561
Sin(320°) -0.6428
Sin(321°) -0.6293
Sin(322°) -0.6157
Sin(323°) -0.6018
Sin(324°) -0.5878
Sin(325°) -0.5736
Sin(326°) -0.5592
Sin(327°) -0.5446
Sin(328°) -0.5299
Sin(329°) -0.515
Sin(330°) -0.5
Sin(331°) -0.4848
Sin(332°) -0.4695
Sin(333°) -0.454
Sin(334°) -0.4384
Sin(335°) -0.4226
Sin(336°) -0.4067
Sin(337°) -0.3907
Sin(338°) -0.3746
Sin(339°) -0.3584
Sin(340°) -0.342
Sin(341°) -0.3256
Sin(342°) -0.309
Sin(343°) -0.2924
Sin(344°) -0.2756
Sin(345°) -0.2588
Sin(346°) -0.2419
Sin(347°) -0.225
Sin(348°) -0.2079
Sin(349°) -0.1908
Sin(350°) -0.1736
Sin(351°) -0.1564
Sin(352°) -0.1392
Sin(353°) -0.1219
Sin(354°) -0.1045
Sin(355°) -0.0872
Sin(356°) -0.0698
Sin(357°) -0.0523
Sin(358°) -0.0349
Sin(359°) -0.0175
Sin(360°) -0
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Максим Иванов
Наш эксперт
Написано статей
129
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации